avem o mulțime A și o altă mulțime
b dacă definim o funcție f de la
a cu valori în b atunci fiecărui
element x din mulțimea A o se corespundă
un unică element în mulțimea B
notat cu ftxf25a Mo altă mulțime
C și definim am o funcție de la
b cu valori în c pe care o Vom
nota cu gem atunci această funcție
Asociază fiecărui element f de
x din mulțimea B un unic element
în mulțimea C notat cu g d e f
de x g d f de x va fi imaginea
elementului fdx prin funcția G
având aceste două funcții F și
G cu ajutorul lor putem să definim
o a treia funcție care duce elementele
din ei direct în mulțimea c iar
această funcție se numește compunerea
funcțiilor g și se notează astfel
și citim G compus cu F atenție
importantă ordinea în care scriem
Mai întâi se scrie a doua funcție
apoi prima observăm că operația
de compunere a două funcții poate
avea loc numai atunci când există
o relație de incluziune sau de
egalitate între codomeniul funcției
f și domeniul funcției G așa dar
având o funcție f definită pe a
cu valori în b și o altă funcție
G definită pe b cu valori în c
iar t cu domeniul funcției f coincide
cu domeniul de definiție al funcției
G atunci în aceste condiții putem
să definim o altă funcție compus
cu F definită pe r cu valori în
c a astfel G compus cu F în punctul
x va fi egal cu g d f d x pentru
orice x din mulțimea A deci x este
element al mulțimii f de x sau
imaginea elementului x prin f este
element din mulțimea b iar g d
e f de x va fi un element din mulțimea
C să reținem că este importantă
această notație mai exact ordinea
în care scriem cele două funcții
pentru că operația de compunere
a două funcții nu este comutativă
o să vedem imediat și un exemplu
așa de edgecam Pascu f nu este
același lucru cu F compus cu g
în continuare o să facem un exemplu
simplu pentru a înțelege mai bine
această operație de compunere A
funcțiilor Avem două funcții F
și G definite astfel e f definită
pe mulțimea formată din elementele
minus 1 0 și 2 cu valori în mulțimea
4 5 6 iar G definită pe mulțimea
4 5 6 cu valori în mulțimea formată
din elementele minus 37 și nouă
din moment ce codomeniul funcției
f este identic cu domeniul funcției
G are loc compunerea G compus cu
F aceasta va fi o funcție definită
pe mulțimea minus 1 0 2 și cu valori
în mulțimea formată din elementele
minus 3 7 și 9 iar G compus cu
f de x egal cu g de f de x și Haideți
să calculăm G compus cu F pentru
fiecare element din domeniul de
definiție începem cu minus 1 g
compus cu F de minus 1 va fi egal
cu g de f de minus 1 Ashley minus
1 este 4 Deci avem g de 4 iar g
de 4 este egal cu minus 3 apoi
Jack compus cu F Calculați în punctul
zero va fi egal cu g de f de 0
f de 0 este 5 prin urmare o să
avem g de 5 egal cu 7 și ce compus
cu F de 2 a fi egal cu g d f de
2 de 2 este egal cu 6 Așadar avem
g de 6 iar g de 6 este egal cu
9 iar eu zic că este destul de
simplă această operație de compunere
a două funcții iar în continuare
aș vrea să amintesc câteva proprietăți
ale acesteia înainte însă trebuie
să definim funcția identică a unei
mulțimi dacă avem o funcție f definită
pe a cu valori în aceeași mulțime
A unde f de x este egal cu x o
astfel de funcție se numește funcție
identică a mulțimii a se va înota
în general astfel un indice a definită
pe a cu valori in A1 indice a d
x egal cu x o notăm astfel pentru
AO diferenția de celelalte funcții
să dăm și un exemplu funcția identică
a mulțimii R calculată în radical
din 2 va fi egal cu radical din
2 Așadar imaginea unui element
prin funcția identică este elementul
respectiv și acum să vedem în continuare
două proprietăți ale compunerii
funcțiilor dacă avem funcția identică
a mulțimii a unde 1A de x este
egal cu x și o altă funcție f definită
pe a cu valori în b atunci f compus
cu funcția identică la fiecare
chiar cu F știu că două funcții
sunt egale dacă ele au același
domeniu același codomeniu și punctuală
funcțiile coincide Haideți să vedem
care ar fi domeniul și codomeniul
acestei funcții f compus cu funcția
identică va fi va avea ca domeniul
de definiție mulțimea A iar codomeniul
acesteia va fi mulțimea B urmare
uitând un a la f compus cu funcția
identică și la funcția f observăm
că ele au același domeniu de definiție
a același codomeniul b iar f compus
cu funcția identică calculată în
punctul x va fi egal cu F d 1 a
b x iar 1 a de x este chiar x Așa
da să reținem că atunci când compunem
o funcție e f cu funcția identică
Rezultatul este chiar funcția f
și o a doua proprietate dacă avem
o funcție f definită pe a cu valori
în b g definită pe r cu valori
în c și h definită pe r cu valori
în d atunci compunere acestor funcții
este o operație asociativă pentru
că a compus cu gem compus cu F
este același lucru cu h compus
cu g compus cu F compunerea funcțiilor
nu este comutativă să vedem un
exemplu avem o funcție f definită
pe r cu valori in R Unde f de x
este egal cu 2 x și g definită
pe r cu valori in r g de x egal
cu x plus 2 observăm că aceste
două funcții au același domeniu
și același codomeniu prin urmare
există G compus cu F și F compus
cu g g compus cu f de x este egal
cu g de f de x pentru a calcula
g d f d x ne uităm la Legea funcției
g g de x este egal cu x plus doi
dar acum noi avem g d e f de x
prin urmare în această formulă
în loc de x o să avem f de x pentru
că acum argumentul funcției este
fdx Așadar va fi egal în continuare
cu f de x plus 2 iar f de x este
egal cu 2x plus doi și acum să
calculăm f compus cu g de x a fi
egal cu F de g de x aceasta este
egală cu 2x argumentul funcției
f în acest caz este gdx Așadar
în loc de x momaie g de x 2 ori
g de x iar g d x este x plus 2
face calculele și obținem 2 x plus
4 și acum îl tendoane la aceste
rezultate putem observa că G compus
cu F nu este același lucru cu F
compus cu g Așadar să reținem că
operația de compunere nu este comutativă
putem să compunem o funcție e f
și cu ea însăși iar pentru această
compunere vom folosi următoarea
notație f compus cu F se notează
astfel f indice superior 2 între
paranteze sau în unele cărți se
folosește și această notație f
cu indice inferior 2 fără paranteze
ia dacă avem f compusă cu ea însăși
de n ori pentru aceasta vom folosi
notația f indice superior n între
paranteze în următorul film o să
facem câteva exerciții pentru a
trage mai bine ai compunerea funcțiilor
